LAPLAS TENGLAMASINING GREEN FUNKSIYASI USULI: XONADA ISSIQLIK TARQALISHINING SPEKTRAL TAHLILI

Аннотация

 В данной статье проведено всестороннее теоретическое и прикладное исследование аналитического метода решения задачи стационарного распределения тепла в замкнутой прямоугольной области. В современной инженерной практике определение температурного поля исключительно численными методами зачастую оказывается недостаточным — точная формула решения, выраженная через управляющие параметры задачи, обеспечивает полное понимание поведения системы на стадии проектирования и позволяет проводить эффективную оптимизацию без повторных полномасштабных вычислений. С этой целью подробно изложен метод спектрального разложения для построения функции Грина оператора Лапласа. Методология решения включает следующие этапы: сначала для оператора Лапласа с условиями Дирихле и смешанными граничными условиями (условие Неймана на одной стенке, условия Дирихле на остальных) формулируется двумерная задача Штурма-Лиувилля на собственные значения, и в явном виде строится её полная ортонормированная система собственных функций. Затем с помощью этой системы функция Грина представляется в виде двойного ряда Фурье, и строго доказываются её существование, единственность и свойство симметрии. Температурное поле записывается в интегральной форме через функцию Грина — подход, основанный на принципе суперпозиции: однажды построенная функция Грина позволяет получать решения для произвольных конфигураций источников тепла без повторных вычислений, что представляет существенное преимущество перед чисто численными методами. Значительная часть работы посвящена анализу сходимости полученных рядов. Рост собственных значений по закону λₘₙ ~ m² + n² обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость со скоростью O(1/(m²+n²)), что строго доказано. Однако вблизи точек расположения источников сходимость замедляется вследствие логарифмической особенности функции Грина, и необходимость учёта дополнительных членов ряда в таких областях подробно проанализирована. На основе численных примеров показано, что удержание M = N = 20 членов ряда достаточно для достижения инженерной точности 0,01°C в практических расчётах. Кроме того, рассмотрен случай наличия внутренних источников тепла в помещении — таких как компьютер или солнечное излучение — в рамках уравнения Пуассона. Точечные источники моделируются с помощью дельта-функции Дирака, и их вклад в представление через функцию Грина полностью охарактеризован. С использованием принципа суперпозиции выведена общая формула решения, учитывающая одновременное действие нескольких источников тепла, и продемонстрированы её преимущества перед методом конечных разностей в контексте параметрического анализа. Представленные в работе результаты пригодны для использования в качестве эталонных решений при верификации численных методов, а также как практический инструмент для оптимизации проектирования систем отопления и выбора строительных материалов.